质点系

质点组

质点组这个概念在解决实际问题时很重要，什么是实际问题? 实际问题就是不能抽象成质点的问题。所以，任何有实际意义的问题都不太可能是一个单纯的质点。对于质点，非常简单，用牛顿第二定律列出微分方程可以告诉我们这个质点的一切运动学规律。

按道理来说，对于质点组，我们考虑所有质点之间的相互作用，来通过牛顿第二定律，构成微分方程组来求解所有质点的运动学信息，进而求解整个系统。然而，在数学上对于这种问题是无能为力的（三体问题）。

所以单纯的通过质点来解决质点组的问题，是不现实的。所谓的质点组力学，就是高中物理的"整体法“。高中物理中，我们用“整体法”来模糊地处理一系列实际问题，但我们并没有完全弄清楚整体法所以据的数学道理。所以，这个笔记的目的就是探究所谓的”整体法“。

质点组模型其实是一些实际问题模型的本质，比如热力学，刚体流体等。这些只不过是质点组加了不同的约束的模型。

从指点到质点组，我们所要做的就是求和和化简。

其实指点组的内力，其特点就是发生在这些质点组内部的由牛顿第三定律所描述的大小相等、方向相反的相互作用力。在我们所定义的质点间的内力的性质恰好符合牛顿第三定律描述的力对（在某种程度上说，指点组的内力就是牛三定律支配的结果）。因此有这里会有两个结论。

$$ \sum_i \vec{M_i^{(i)}} = 0 $$

其中第一个不用证明，如果非要证明，那就用牛顿第三定律证明。第二个证明就是第一个结论加上力矩的定义自然而然得到的结果。

$$ \vec{r}_c = \frac{\sum_i {m_i \vec{r_i}}}{\sum_i m_i} = \frac{\sum_i {m_i \vec{r_i}}}{M} $$ 用质心来做中间的桥梁，就是”整体法“的核心。

$M = \sum_i{m_i}$ 质点组的总质量。

$\vec{{r_i}\prime} = \vec{r_i} - \vec{r_c}$ 每个质点在质心参考系下的位置表示（伽利略变换）。

有了上面的几个定义，就能够得到两个结论 $$ \sum_i{m_i\vec{{r_i}\prime}} = 0 $$

证明也很简单，把伽利略变换和质心定义带入即可。

也就是质心参考系下，质点组的总动量为0。这个结论就有意思了，也就是质心满足这样一个特性，即所有质点对这点的总动量为0。所以我们也可以把所有质点某一点的动量恒为0的点叫做这个系统的质心来作为质心的定义。

当然再求一次导得到， $$ \sum_i{m_i\dot{\vec{{r_i}\prime}}} = 0 $$

当然这个只在宏观低速的情况下成立，因为微观高速的物体的质量是变化的，求导不能得到下面的形式。

为此，我们的到了几个求和后化简手段

$$ \sum_i \vec{F_i^{(i)}} = 0 $$

$$ \sum_i \vec{M_i^{(i)}} = 0 $$

$$ \sum_i{m_i\vec{{r_i}\prime}} = 0 $$ $$ \sum_i{m_i\dot{\vec{{r_i}\prime}}} = 0 $$

这几个公式就是牛顿第二定律 + 伽利略变换 + 数学推导 自然而然得到的结论。因此可以很清楚的明白用到这些公式应满足的前提条件。