坐标系⌗

为了避免这个笔记成为毫无意义的摘抄，所以这里不机械式地罗列各种坐标系地笔记公式，只针对我们不常用的极坐标和自然坐标系，来写出这两个坐标系下的动力学表示。

坐标系是用来干什么的？当然是方便人解决问题的。这篇笔记的目的是给出每种坐标系下物体的速度、加速度、动能和动量的表示。以上目的在于方便地处理各种问题。并且给出这些坐标系所能处理的典型问题。

我们的目的是把位置、速度和加速度在各个坐标系下用这个坐标系的基底来表示。

这两个坐标系不同于笛卡尔直角坐标系，它们的基底是随时间变化的，也就是这些基底对时间求导还是有信息的。并且如果我们要达到我们的目的，也就是用基底表示速度和加速度，也必然涉及到对基底的求导。因为速度和加速度是由位移对时间求导得到的，一旦对用基底表示的位移求导，那么不可避免地涉及到对基底的求导。所以，为了在各个坐标系下用基向量表示位置、速度和加速度 ,我们首先必须得出这个坐标系下基向量对时间求导的表示。

注意，只有对时间求导，才写成函数上加点。$\dot{x}$表示为$x$对时间$t$求导

极坐标基底对时间导数的表示⌗

极坐标需要选取一个定点作为坐标原点。通常，极坐标系适合处理有心力的问题。所以，这个极点通常为力心，这样整个坐标系就成了惯性系。

极坐标系的定义⌗

极坐标系的两个基底分别是径向和垂直于径向的单位矢量。这两个基本矢量用笛卡尔坐标系表示为：

$$ \vec{e_r}=\cos\theta\vec{i}+\sin\theta\vec{j} $$

$$ \vec{e_{\theta}}=-\sin\theta\vec{i}+\cos\theta\vec{j} $$

推导⌗

如果把 $\vec{e_r}$对$\theta$求导，会发现就是$\vec{e_{\theta}}$，这是极坐标非常舒服的地方。

$$ \frac{d\vec{e_r}}{d\theta}=-\sin\theta\vec{i}+\cos\theta\vec{j} = \vec{e_\theta} $$

同理

$$ \frac{d\vec{e_\theta}}{d\theta}=-\cos\theta\vec{i}-\sin\theta\vec{j} = -\vec{e_r} $$

这样就能写出基本矢量随着时间的变化规律

$$ \dot{\vec{e_r}} = \frac{d\vec{e_r}}{dt} = \frac{d\vec{e_r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt} = \dot{\theta}\vec{e_\theta} $$

同理得:

$$ \dot{\vec{e_\theta}} = -\dot{\theta}\vec{e_r} $$

$$ \dot{\vec{e_r}} = \dot{\theta}\vec{e_\theta} $$ $$ \dot{\vec{e_\theta}} = -\dot{\theta}\vec{e_r} $$

自然坐标基底对时间导数的表示⌗

自然坐标系的参数化相对复杂一些，自然坐标系用来处理具有向心加速度的问题。 它除了具有额外的曲率半径这个参数，还有角度正负号的问题。（补图）在推导之前，我们先引入自然坐标系的定义，这个定义比较复杂

自然坐标系的定义⌗

首先我们能通过定义得到切线方向基底： $$ \vec{e_t}= \frac{d\vec{r}}{|d\vec{r}|} $$ 这个非常的简单。

但是法向的基底如何表示呢？首先，我们规定法线方向在曲线的凹侧

接下来回想之前的极坐标的横向基底对时间导数的表达式$\vec{e_\theta}$具有形式 $$\frac{d\vec{e_r}}{d\theta}=-\sin\theta\vec{i}+\cos\theta\vec{j} = \vec{e_\theta}$$

因为在极坐标系种$\vec{e_r}$ 和 $\vec{e_\theta}$相互垂直，在自然坐标系种，这两个分量也定义为相互垂直，所以对于自然坐标系，只要我们找到一个在形式上相当于极坐标系中的$\theta$，也就随意规定一个固定轴,其与切向夹角为$\theta$，我们就可以认为在自然坐标系中，其法向基底$\vec{e_n}$也可以表示为

$$ \vec{e_n} = \frac{d\vec{e_t}}{d\theta} $$ 这里相对于极坐标系，只是把$\theta$替换为$n$，$r$ 替换为$t$，形式不变。

这里其实就是法向的定义。

最后一个参数就是曲率：

$$ \rho = \frac{ds}{d\theta} $$

为什么这里引入了一个$\rho$呢，因为如果只靠我们选取的最基本变量$r$和$\theta$来表示最终结果非常复杂，所以我们引入了一个中间变量。

$$ \rho = |\frac{[r^2+(dr/d\theta)^2]^{\frac{3}{2}}}{r^2+2(dr/d\theta)^2 - r\frac{d^2 r}{d\theta^2}}| $$

注意，虽然$\vec{e_n} \vec{e_t}$和 极坐标中的$\vec{e_\theta} \vec{e_r}$在形式上相同，但是在自然坐标系下，我们规定了法向的方向，也就是曲线的凹侧，然而在极坐标系下，横向的方向就是 $\theta$增大的方向，所以曲线的凹侧 和 $\theta$增大的方向 不完全等价。所以对于自然坐标系，需要按$d\theta$的符号来进行分类。之所在自然坐标系下对于法线方向需要分类，是因为 法线的正方向在曲线的凹侧这个定义是不连续的，没办法用统一的表达式来表述。因为我们必须规定一个方向，只能通过曲线的形状来规定一个方向，否则法向的正向到底朝向哪里呢？因此，在曲线的凹侧变化的时候，也就是 $d\theta$ 的符号改变的时候，法向的正向定义也是要变的。所以结论就是：

在选定一个固定轴后，与切向的基底的夹角为 **$\theta$**时:

当 $d\theta > 0$: $$ \vec{e_t}= \frac{d\vec{r}}{|d\vec{r}|} = \frac{d\vec{r}}{ds} $$

$$ \vec{e_n} = \frac{d\vec{e_t}}{d\theta} $$

$$ \rho = \frac{ds}{d\theta} $$

当 $d\theta < 0$: $$ \vec{e_t} = \frac{d\vec{r}}{|d\vec{r}}|= \frac{d\vec{r}}{ds} $$

$$ \vec{e_n} = -\frac{d\vec{e_t}}{d\theta} $$

$$ \rho = -\frac{ds}{d\theta} $$

推导⌗

在自然坐标系下，我们不像在极坐标系下，需要考虑基底对时间的导数，因为通过计算我们发现速度的基底表示并不涉及基底对时间的导数。

速度:

$$ \vec{\dot{v}} =\dot{\vec{r}} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}}{ds}\frac{ds}{dt} $$ 其中，$\frac{ds}{dt}$就是我们所熟悉的速率的定义。 因此： $$ \vec{\dot{v}} = v\vec{e_t} + 0\vec{e_n} $$

加速度：

$$ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e_t}) = \dot{v}\vec{e_t} + \frac{v^2}{\rho}\vec{e_n} $$

结论⌗

有了上面的基底求导的结果，我们就能得到位移、速度和加速度用基底的表示。

在极坐标系下⌗

位置矢量⌗

$$ \vec{r} = r\vec{e_r} $$ 这是极坐标的定义

速度矢量⌗

$$ \vec{v} = \dot{\vec{r}} =\vec{\dot{r}}\vec{e_r}+r(\dot{\theta}\vec{e_\theta}) $$

则 $$v_r=\dot{r}$$ $$v_\theta = r\dot{\theta}$$

加速度矢量⌗

$$ \vec{a} = \dot{\vec{v}} = \frac{d}{dt}(\vec{\dot{r}}\vec{e_r}+r\dot{\theta}\vec{e_\theta}) $$

这一步略去计算,最后我们得到 $$ \vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\vec{e_r} + (2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\vec{e_\theta} $$

则 $$a_r=\ddot{r}-r\dot{\theta}^2$$ $$a_\theta = 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}$$ 到这里，我们就把三大量在极坐标系下的分量表示写出来了。

如果比较敏感的话，可以看到在横向分量下的加速度的部分，是某种形式的全微分。这就可以写成更简洁的形式（当然，发现这一步其实挺需要敏感度的）

$$a_\theta =\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r^2\dot{\theta})$$ 这个形式非常有用，放在之后的极坐标的应用里说明。

在自然坐标系下⌗

因为在上一节中直接推出了运动学的表示，所以我们这里直接抄过来

位置矢量⌗

速度矢量⌗

$$v_t = v$$

$$v_n = 0$$

加速度矢量⌗

$$ a_t = \dot{v} $$

$$ a_n = \frac{v^2}{\rho} $$

极坐标的银弹(Silver Bullet)级的应用⌗

• 由掠面面积所想到的

根据掠面的定义，我们可以写出掠面的微分表达式（补图）:

$$ dA = \frac{1}{2}r^2 d\theta $$

那么掠面速率就是: $$ \dot{A} = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} $$

利用全微分形式的横向加速分量，我们可以看到，掠面速率是横向加速度横向分量的一部分 $$ a_\theta = \frac{2}{r}\frac{d}{dt}(\dot{A}) $$

• 惊人的巧合

我们知道开普勒第一定律。开普勒通过观测发现行星的掠面速度是常数，也就是$\frac{d}{dt}(\dot{A})$这一项为$0$，那么就得出结论：

$a_\theta = 0$ $\Rightarrow$ 行星的横向加速度为$0$ $\Rightarrow$ 行星横向的力为$0$ $\Rightarrow$ 行星所受到的力是有心力

这么复杂的一个天体问题，通过观测，并且经过极坐标的计算，就可以得出非常简洁的结论:万有引力是有心力。

我们现在再来思考一下，这是巧合吗？这当然不是巧合，因为如果给了极坐标的定义，速度、加速度的定义，这个横向加速度的形式本就应该如此。它本来就在那里，不会因为我们的精妙计算而存在,也不会因为我们的愚钝算不出而不存在。当然，如果非要说成是极坐标系“巧合”，那这个“巧合”其实就是 在数学上（用极坐标系）对这个问题的本质(只受到了极坐标所定义的径向方向的力)的做出的解答。 而我们把这种在极坐标系下定义的只有径向的力的这种力叫做 有心力(Central Force) 。

注意横向加速和切向加速度不一样。切向加速度是自然坐标系下的表示。

从这里我们可以发现极坐标的杀手级应用：处理有心力的问题。毕竟对于有心力，横向上的加速度为0，这就使其表示以及运算非常的简单。而且有心力是自然界最常见最基本的力，小到库仑力，大到万有引力。都是有心力。当然需要先证明有心力只会引起平面运动，只有平面运动，才能用平面极坐标系。这个之后涉及。