二体问题

Feb 19, 2021

• 前置知识
  • 高中物理
    • 经典动力学和运动学在在极坐标下的表示
  • 高中数学
    • 圆锥曲线相关的解析几何。（有些圆锥曲线的解析几何知识高中不涉及，但在这里推导方程的时候也不是重点，可以当作结论使用）
  • 微积分以及简单的向量求导，比如见过或了解如下公式:
    • $$\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\frac{\mathrm{d}\vec{B}}{dt} + \frac{\mathrm{d}{\vec{A}}}{dt}\times{\vec{B}}$$
    • $$ \vec{C}\cdot\left(\vec{A}\times\vec{B}\right) = \left(\vec{C}\times\vec{A}\right)\cdot\vec{B}$$

二体问题矢量方程

首先给定两个质点$m1,m2$和他们的位置矢量$\vec{r_1},\vec{r_2}$, 以及其质心$C$和质心的位置矢量$\vec{r_c}$和两个质点之间的方向矢量$\vec{r} = \vec{r_1}-\vec{r_2}$,然后用上质心的性质$m_1(\vec{r_1}-\vec{r_c}) + m_2(\vec{r_2}-\vec{r_c}) = 0$经过一系列推导，就能够得到:

$$ \vec{r_1} = \vec{r_c} + \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r} $$$$ \vec{r_2} = \vec{r_c} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r} $$

有了这两个质心的位置矢量，我们就可以利用牛顿第二定律和牛顿第三定律得到：

$$ \ddot{\vec{r_c}}(m_1+m_2) = 0 \Rightarrow \ddot{\vec{r_c}} = 0 $$

即质心在惯性系下质心加速度为0

以及可以得到

$$ \vec{F_1} = -\vec{F_2} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}} $$

然后再结合上万有引力定律

$$\vec{F} = -\frac{G{m_1}{m_2}}{r^3}\ddot{\vec{r}}$$

就可以得到

$$ \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}} + \frac{G m_1 m_2}{r^3}\ddot{\vec{r}} = 0 $$

这个就是二体问题的矢量方程

令$\mu = G(m_1+m_2)$,就可以写成更简单的形式：

$$ \ddot{\vec{r}} + \frac{\mu}{r^3}\vec{r} = 0 $$

二体问题矢量方程的积分常数

上面那一节说明了二体问题矢量方程 = 牛顿第二定律 + 牛顿第三定律 + 万有引力 + 数学推导. 这是一个二阶微分方程，接下来，我们需要解这个二阶微分方程。目的是得到其运动规律，包括轨道信息，也就是一个关于$\vec{r}$的方程。其实这个过程就是给微分方程降阶的过程。也就是我们需要挖掘一下这个方程能不能写成$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\ldots\right)=0$的形式。括号里面就是积分常数。另外，我们需要研究能得到几个积分常数。

比角动量常矢量

用$\vec{r}$叉乘矢量结合矢量求导法则方程得到

$$ \frac{\mathrm{d}}{dt}\left(\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt}\right) = 0 $$

这个

$$ \vec{h}=\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt} = \vec{r}\times\vec{v} $$

就叫比角动量常矢量,注意，这个不是角动量，少了一个质量$m$。这也就是为什么叫比角动量了，因为这是单位质量的角动量。当然，角动量守恒的必要条件是有心力，不一定是平方反比的关系。

拉普拉斯常矢量

用矢量方程叉乘$\vec{h}$,就能够得到

$$ \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}\times\vec{h} + \frac{\mu}{r^3}\vec{r}\times\vec{h}=0 $$

注意到这里的$\vec{h}$是常量，在求导运算里面直接当成常数就可以了，不参与求导。

这里的一系列推到比较麻烦，最后就可以得到：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{h}-\frac{\mu}{r}\vec{r}\right) = 0 $$

定义

$$ \vec{e} = \frac{1}{\mu}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{h}-\frac{\mu}{r}\vec{r}\right) $$

为拉普拉斯常矢量，这个和圆锥曲线的偏心率有关。

$$ \vec{e}\cdot\vec{h} = 0 $$

能量常数

用矢量方程点乘速度矢量，凑全微分，能得到:

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{r}\right) = 0 $$

定义

$$ \epsilon = \frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{r} =\frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r} $$

为能量常数，这是一个标量。

如果能量常数乘一个物体的质量，就是这个物体的机械能，根据机械能的常用定义，机械能可以是负的。从这里也能看出来二体问题的机械能是守恒的，当然从更本质上来说，可以参考前章节有关保守力机械能守恒的一般结论。

运动方程

关于这个运动方程，一种方法是通过极坐标系来推出比奈公式，进而利用万有引力的平方反比关系带入求出二体问题的运动方程，这个方法之前的章节有介绍。这一节我们通过积分常数来列一个关于$\vec{r}$的微分方程。

因为我们有了拉普拉斯常矢量这个在运动平面内的不变量，在有了$\vec{r}$的前提下，再引入一个角度来来列方程就够了。

$$ \cos{\theta}= \frac{\vec{r}\cdot\vec{e}}{re} $$

（补图）

里面通过矢量运算法则凑出$\vec{h}$

$$ \vec{r}\cdot\vec{e} = re\cos\theta = \vec{h}^2/(\mu-r) $$$$ \vec{r} = \frac{\vec{h}^2/\mu}{1+e\cos\theta} $$

令$p=\vec{h}^2/\mu$,半通径。

这个和我们之前用比奈公式得到的轨迹是一样的，就是一个圆锥曲线。

在这里我们列出这些量和圆锥曲线的一些量之间的关系：

$$ p=\vec{h}^2/\mu $$$$ a = \frac{p}{1-e^2} $$

活力公式

活力公式是一个比较常用的公式，我们对航天器的控制在很大程度上都是对速度的控制，活力公式就是描述速度与距离之间的关系的一个公式。

$$ v^2 = \mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) $$

其中$a$为圆锥曲线半长轴。

这个推导过程略显抽象，暂时我也不太完全能理解，大概过程就是用拉普拉斯常矢量的分量，结合其几何意义(补图)。

也就是把拉普拉斯常矢量通过平方的方式展开（因为这个常量有比较明显的几何意义）

$$ \vec{e}^2 = \left(用分量\vec{e_1},\vec{e_2}以及一个角度来表示的形式\right) $$

其中，这个角度和和速度与矢量横向方向的夹角相同。 就可以写出等式

$$ e^2 = 1 + \frac{2h^2}{\mu^2}\epsilon $$

这个等式表明了之前的积分常数的数值之间的关系。通过这个等式可以得到不同形式的量之间的关系，结合上圆锥曲线的定义，就可以表示为半长轴。

比如除了活力公式， 还可以得到：

$$ \epsilon = -\frac{\mu}{2a} $$

, 机械能和半长轴之间乘负反比关系。

速度分解

更进一步，根据需求，我们还需要速度分量的公式，在这里，我们直接给出答案，因为无论推导的难易，这个思路却是清晰的，就是表示成极坐标的形式对轨迹方程进行求导。而且本教程在一定程度上是充当手册使用的，不需要给出完全的推导。

径向速度

$$ \vec{v_r} = \frac{\mu}{p}e\sin\theta $$

横向速度

$$ \vec{v_\theta} = \frac{h}{r} $$

其中有

$$ \frac{h}{p} = \frac{\mu}{h}= \sqrt{\frac{\mu}{p}} $$

通过上面的关系，可以写出自己想要的表示速度的方法。

二体问题轨道特性

这一小节主要简单列出椭圆轨道，抛物线轨道和双曲线轨道的各种参数的表示。

速度分量之间的关系

我们把之前得到的速度分量处理一下就可以发现有如下关系：

$$ \left({v_f-\frac{\mu}{h}}\right)^2+ v_r^2 = \left(\frac{\mu}{h}\right)^2 $$

做一个$v_f$ - $v_r$图像，可以发现这是一个圆。参数和其几何意义对应如下(补图)

椭圆轨道的周期

这个可以根据开普勒第二定律推出。根据之前的推导掠面速度为常数，这是角动量守恒的必然结果。

$$ T = \frac{A}{\vec{A}} = \frac{\pi ab}{h/2} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}} $$

这正好就是开普勒第三定律描述的

轨道只与半长轴有关，与偏心率无关。也就是与机械能有关。

虽然这个是椭圆轨道，但是对于其他圆锥曲线也适用，周期就是无穷大了。

抛物线轨道

双曲线轨道

对双曲线轨道这种逃逸轨道来讲，比较有用的性质是双曲线的渐近线。

双曲剩余速度

双曲线轨道在无穷远处的速度

轨道位置$\theta$与时间$t$的关系

我们有

$$ \dot{\theta} = \frac{h}{r^2} $$

就可以积分得到

$$ t-t_0 = \sqrt{\frac{p^3}{\mu}}\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\left(1+e\cos\theta\right)^2} $$

当然对于圆轨道即$e=0$时，有解析解，这个即使不积分，我们也可以很容易的用初等数学的方法得到，因为圆轨道的运动速度是均匀的。

对于椭圆轨道或双曲线轨道来讲，这是个椭圆积分。单纯的椭圆积分没有初等解析解。

但是这个还是有办法的，我们引入一个其他有几何意义的角度来表示$\theta$。

开普勒方程(椭圆轨道的时间-位置关系)

对于椭圆轨道，我们引入的代替$\theta$间接变量是偏近点角，相应的$\theta$叫做真近点角。

偏近点角

用偏近点角表示椭圆方程。偏近点角的定义如下(补图)。用$E$来表示。

我们把轨道位置的$\theta$用$E$表示：

$$ r\sin\theta = a\sqrt{1-e^2}\sin{E} $$

用这个等式进行变量替换，把上式平方并且用之前的轨道方程消去$\theta$得到：

$$ r^2 = a^2(1-2e\cos{E}+e^2\cos^2{E}) $$

在开方之前需要进行分类讨论：

• 对于椭圆轨道$r>0, a>0, 0<=e<1$
  • $r = a(1-e\cos{E})$

我们发现，对于用偏近点角表示的椭圆方程，在对时间的积分上是在分子中的，这个积分起来就很简单了。

当然我们也得通过之前$\theta$与$E$之间的关系把最后得到的结果换算回来。

$$ \cos{\theta} = \frac{\cos{E}-e}{1-e\cos{E}} \Rightarrow \tan^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1+e}{1-e}\tan^2{\frac{E}{2}} $$

首先通过画图可知，$\frac{\theta}{2}$与$\frac{E}{2}$在同一象限，就可以展开。

椭圆轨道上$t$ 和 $E$的关系就是开普勒方程。因为对于椭圆轨道，没有$t$和$\theta$的初等解析方程。

当用偏近点角替换真近点角的轨道方程之后，就可以得到偏近点角和时间之间的微分方程。然后求解得开普勒方程:

$$ E - e\sin{E} = n(t-\tau) $$

其中$n = \sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$,这个值是平均角速度，也就是和通过开普勒第三定律计算出的椭圆轨道周期求得平均速度是一致的。$\tau$为初始值。

然后我们再定义平近点角 $M =n(t-\tau)$,这个和当前时间$t$是线性关系。

最终我们用平近点角来表述开普勒方程.

$$ E - e\sin{E} = M(t) $$

当然我们也可以通过开普勒方程来得到椭圆轨道的周期。

巴克方程（抛物线轨道时间-位置关系）

对于抛物线$e = 1$时，原始的轨道方程是可以做积分的，这里就是数学技巧的问题，不再详细描述，直接给结果：

$$ \tan{\frac{\theta}{2}} + \frac{1}{3}\tan^3{\frac{\theta}{2}} = 2\sqrt{\frac{\mu}{p^3}}\left(t-\tau\right) $$

$\tau$为初始值。

这个就是巴克方程。

双曲线轨道时间-位置关系

双曲线的时间-位置关系比较复杂，我们仿照椭圆轨道引入的近点角那样，对双曲线轨道引入双曲近点角(补图)。

这个双曲近点角是建立在等边双曲线之上的(渐近线是45度)。相当于椭圆轨道的那个参考圆。按照相同的画法，把在椭圆轨道引入的偏近点角推广到双曲线上，对应的角度就是双曲近点角。 然后，这里对之前椭圆轨道的偏近点角做一个扩充，也就是$E = 2\frac{S}{a^2}$(之后补充S的定义)，之所以用这个定义，是为了也用这个公式表示双曲近点角，同时这个$S$就是是在双曲线下对应的不规则区域面积。因此，双曲近点角的角度并不是通常意义上的一个角度。并且有结论，在双曲线下，这个$S$为：

$$ S_{OQP} = \frac{1}{2}a^2\ln{\left(\frac{RO}{a_1}+\frac{RQ}{a_1}\right)} $$$$ RO = -a\cosh{H} $$$$ SR = -b\cosh{H} $$

(补图) 以上结论记住就可以了，这涉及到比较复杂的解析几何的知识。因此，双曲近点角是用双曲函数表示的。

最后得到

$$ r^2 = a^2e^2 + b^2+a^2\cosh^2{H}+b^2\sinh^2{H} $$

然后利用双曲线和双曲函数的性质

$$ a^2+b^2 = a^2e^2 $$$$ \cosh^2{H} -\sinh^2{H} = 1 $$

得到:

$$ r = a_1\left(e\cosh{H}-1\right) $$

即位置和双曲近点角之间的关系。

其中，新旧两个角之间的关系为

$$ \tan{\frac{\theta}{2}} =\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}\tanh{\frac{H}{2}} $$

这个和椭圆轨道下的偏近点角和真近点角的关系的形式类似。

最后得到$t-H$关系:

$$ e\sinh{H} - H = \sqrt{\frac{\mu}{a_1^3}}\left(t-\tau\right) $$

这就是双曲线轨道的时间-位置关系。可以看到，和椭圆轨道的形式非常相似。

小结

对于抛物线轨道，我们用的不是特别多，因为它实在是太特殊了，没有理由给人造天体设计一个抛物线轨道。 其他两种轨道的时间-位置关系是重点。

二体问题

Feb 19, 2021

• 前置知识
  • 高中物理
    • 经典动力学和运动学在在极坐标下的表示
  • 高中数学
    • 圆锥曲线相关的解析几何。（有些圆锥曲线的解析几何知识高中不涉及，但在这里推导方程的时候也不是重点，可以当作结论使用）
  • 微积分以及简单的向量求导，比如见过或了解如下公式:
    • $$\vec{A}\times\vec{B} = \vec{A}\times\frac{\mathrm{d}\vec{B}}{dt} + \frac{\mathrm{d}{\vec{A}}}{dt}\times{\vec{B}}$$
    • $$ \vec{C}\cdot\left(\vec{A}\times\vec{B}\right) = \left(\vec{C}\times\vec{A}\right)\cdot\vec{B}$$

二体问题矢量方程

首先给定两个质点$m1,m2$和他们的位置矢量$\vec{r_1},\vec{r_2}$, 以及其质心$C$和质心的位置矢量$\vec{r_c}$和两个质点之间的方向矢量$\vec{r} = \vec{r_1}-\vec{r_2}$,然后用上质心的性质$m_1(\vec{r_1}-\vec{r_c}) + m_2(\vec{r_2}-\vec{r_c}) = 0$经过一系列推导，就能够得到:

$$ \vec{r_1} = \vec{r_c} + \frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r} $$$$ \vec{r_2} = \vec{r_c} + \frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r} $$

有了这两个质心的位置矢量，我们就可以利用牛顿第二定律和牛顿第三定律得到：

$$ \ddot{\vec{r_c}}(m_1+m_2) = 0 \Rightarrow \ddot{\vec{r_c}} = 0 $$

即质心在惯性系下质心加速度为0

以及可以得到

$$ \vec{F_1} = -\vec{F_2} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}} $$

然后再结合上万有引力定律

$$\vec{F} = -\frac{G{m_1}{m_2}}{r^3}\ddot{\vec{r}}$$

就可以得到

$$ \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ddot{\vec{r}} + \frac{G m_1 m_2}{r^3}\ddot{\vec{r}} = 0 $$

这个就是二体问题的矢量方程

令$\mu = G(m_1+m_2)$,就可以写成更简单的形式：

$$ \ddot{\vec{r}} + \frac{\mu}{r^3}\vec{r} = 0 $$

二体问题矢量方程的积分常数

上面那一节说明了二体问题矢量方程 = 牛顿第二定律 + 牛顿第三定律 + 万有引力 + 数学推导. 这是一个二阶微分方程，接下来，我们需要解这个二阶微分方程。目的是得到其运动规律，包括轨道信息，也就是一个关于$\vec{r}$的方程。其实这个过程就是给微分方程降阶的过程。也就是我们需要挖掘一下这个方程能不能写成$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\ldots\right)=0$的形式。括号里面就是积分常数。另外，我们需要研究能得到几个积分常数。

比角动量常矢量

用$\vec{r}$叉乘矢量结合矢量求导法则方程得到

$$ \frac{\mathrm{d}}{dt}\left(\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt}\right) = 0 $$

这个

$$ \vec{h}=\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt} = \vec{r}\times\vec{v} $$

就叫比角动量常矢量,注意，这个不是角动量，少了一个质量$m$。这也就是为什么叫比角动量了，因为这是单位质量的角动量。当然，角动量守恒的必要条件是有心力，不一定是平方反比的关系。

拉普拉斯常矢量

用矢量方程叉乘$\vec{h}$,就能够得到

$$ \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}\times\vec{h} + \frac{\mu}{r^3}\vec{r}\times\vec{h}=0 $$

注意到这里的$\vec{h}$是常量，在求导运算里面直接当成常数就可以了，不参与求导。

这里的一系列推到比较麻烦，最后就可以得到：

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{h}-\frac{\mu}{r}\vec{r}\right) = 0 $$

定义

$$ \vec{e} = \frac{1}{\mu}\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\times\vec{h}-\frac{\mu}{r}\vec{r}\right) $$

为拉普拉斯常矢量，这个和圆锥曲线的偏心率有关。

$$ \vec{e}\cdot\vec{h} = 0 $$

能量常数

用矢量方程点乘速度矢量，凑全微分，能得到:

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{r}\right) = 0 $$

定义

$$ \epsilon = \frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^2-\frac{\mu}{r} =\frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu}{r} $$

为能量常数，这是一个标量。

如果能量常数乘一个物体的质量，就是这个物体的机械能，根据机械能的常用定义，机械能可以是负的。从这里也能看出来二体问题的机械能是守恒的，当然从更本质上来说，可以参考前章节有关保守力机械能守恒的一般结论。

运动方程

关于这个运动方程，一种方法是通过极坐标系来推出比奈公式，进而利用万有引力的平方反比关系带入求出二体问题的运动方程，这个方法之前的章节有介绍。这一节我们通过积分常数来列一个关于$\vec{r}$的微分方程。

因为我们有了拉普拉斯常矢量这个在运动平面内的不变量，在有了$\vec{r}$的前提下，再引入一个角度来来列方程就够了。

$$ \cos{\theta}= \frac{\vec{r}\cdot\vec{e}}{re} $$

（补图）

里面通过矢量运算法则凑出$\vec{h}$

$$ \vec{r}\cdot\vec{e} = re\cos\theta = \vec{h}^2/(\mu-r) $$$$ \vec{r} = \frac{\vec{h}^2/\mu}{1+e\cos\theta} $$

令$p=\vec{h}^2/\mu$,半通径。

这个和我们之前用比奈公式得到的轨迹是一样的，就是一个圆锥曲线。

在这里我们列出这些量和圆锥曲线的一些量之间的关系：

$$ p=\vec{h}^2/\mu $$$$ a = \frac{p}{1-e^2} $$

活力公式

活力公式是一个比较常用的公式，我们对航天器的控制在很大程度上都是对速度的控制，活力公式就是描述速度与距离之间的关系的一个公式。

$$ v^2 = \mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right) $$

其中$a$为圆锥曲线半长轴。

这个推导过程略显抽象，暂时我也不太完全能理解，大概过程就是用拉普拉斯常矢量的分量，结合其几何意义(补图)。

也就是把拉普拉斯常矢量通过平方的方式展开（因为这个常量有比较明显的几何意义）

$$ \vec{e}^2 = \left(用分量\vec{e_1},\vec{e_2}以及一个角度来表示的形式\right) $$

其中，这个角度和和速度与矢量横向方向的夹角相同。 就可以写出等式

$$ e^2 = 1 + \frac{2h^2}{\mu^2}\epsilon $$

这个等式表明了之前的积分常数的数值之间的关系。通过这个等式可以得到不同形式的量之间的关系，结合上圆锥曲线的定义，就可以表示为半长轴。

比如除了活力公式， 还可以得到：

$$ \epsilon = -\frac{\mu}{2a} $$

, 机械能和半长轴之间乘负反比关系。

速度分解

更进一步，根据需求，我们还需要速度分量的公式，在这里，我们直接给出答案，因为无论推导的难易，这个思路却是清晰的，就是表示成极坐标的形式对轨迹方程进行求导。而且本教程在一定程度上是充当手册使用的，不需要给出完全的推导。

径向速度

$$ \vec{v_r} = \frac{\mu}{p}e\sin\theta $$

横向速度

$$ \vec{v_\theta} = \frac{h}{r} $$

其中有

$$ \frac{h}{p} = \frac{\mu}{h}= \sqrt{\frac{\mu}{p}} $$

通过上面的关系，可以写出自己想要的表示速度的方法。

二体问题轨道特性

这一小节主要简单列出椭圆轨道，抛物线轨道和双曲线轨道的各种参数的表示。

速度分量之间的关系

我们把之前得到的速度分量处理一下就可以发现有如下关系：

$$ \left({v_f-\frac{\mu}{h}}\right)^2+ v_r^2 = \left(\frac{\mu}{h}\right)^2 $$

做一个$v_f$ - $v_r$图像，可以发现这是一个圆。参数和其几何意义对应如下(补图)

椭圆轨道的周期

这个可以根据开普勒第二定律推出。根据之前的推导掠面速度为常数，这是角动量守恒的必然结果。

$$ T = \frac{A}{\vec{A}} = \frac{\pi ab}{h/2} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}} $$

这正好就是开普勒第三定律描述的

轨道只与半长轴有关，与偏心率无关。也就是与机械能有关。

虽然这个是椭圆轨道，但是对于其他圆锥曲线也适用，周期就是无穷大了。

抛物线轨道

双曲线轨道

对双曲线轨道这种逃逸轨道来讲，比较有用的性质是双曲线的渐近线。

双曲剩余速度

双曲线轨道在无穷远处的速度

轨道位置$\theta$与时间$t$的关系

我们有

$$ \dot{\theta} = \frac{h}{r^2} $$

就可以积分得到

$$ t-t_0 = \sqrt{\frac{p^3}{\mu}}\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\left(1+e\cos\theta\right)^2} $$

当然对于圆轨道即$e=0$时，有解析解，这个即使不积分，我们也可以很容易的用初等数学的方法得到，因为圆轨道的运动速度是均匀的。

对于椭圆轨道或双曲线轨道来讲，这是个椭圆积分。单纯的椭圆积分没有初等解析解。

但是这个还是有办法的，我们引入一个其他有几何意义的角度来表示$\theta$。

开普勒方程(椭圆轨道的时间-位置关系)

对于椭圆轨道，我们引入的代替$\theta$间接变量是偏近点角，相应的$\theta$叫做真近点角。

偏近点角

用偏近点角表示椭圆方程。偏近点角的定义如下(补图)。用$E$来表示。

我们把轨道位置的$\theta$用$E$表示：

$$ r\sin\theta = a\sqrt{1-e^2}\sin{E} $$

用这个等式进行变量替换，把上式平方并且用之前的轨道方程消去$\theta$得到：

$$ r^2 = a^2(1-2e\cos{E}+e^2\cos^2{E}) $$

在开方之前需要进行分类讨论：

• 对于椭圆轨道$r>0, a>0, 0<=e<1$
  • $r = a(1-e\cos{E})$

我们发现，对于用偏近点角表示的椭圆方程，在对时间的积分上是在分子中的，这个积分起来就很简单了。

当然我们也得通过之前$\theta$与$E$之间的关系把最后得到的结果换算回来。

$$ \cos{\theta} = \frac{\cos{E}-e}{1-e\cos{E}} \Rightarrow \tan^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1+e}{1-e}\tan^2{\frac{E}{2}} $$

首先通过画图可知，$\frac{\theta}{2}$与$\frac{E}{2}$在同一象限，就可以展开。

椭圆轨道上$t$ 和 $E$的关系就是开普勒方程。因为对于椭圆轨道，没有$t$和$\theta$的初等解析方程。

当用偏近点角替换真近点角的轨道方程之后，就可以得到偏近点角和时间之间的微分方程。然后求解得开普勒方程:

$$ E - e\sin{E} = n(t-\tau) $$

其中$n = \sqrt{\frac{\mu}{a^3}}$,这个值是平均角速度，也就是和通过开普勒第三定律计算出的椭圆轨道周期求得平均速度是一致的。$\tau$为初始值。

然后我们再定义平近点角 $M =n(t-\tau)$,这个和当前时间$t$是线性关系。

最终我们用平近点角来表述开普勒方程.

$$ E - e\sin{E} = M(t) $$

当然我们也可以通过开普勒方程来得到椭圆轨道的周期。

巴克方程（抛物线轨道时间-位置关系）

对于抛物线$e = 1$时，原始的轨道方程是可以做积分的，这里就是数学技巧的问题，不再详细描述，直接给结果：

$$ \tan{\frac{\theta}{2}} + \frac{1}{3}\tan^3{\frac{\theta}{2}} = 2\sqrt{\frac{\mu}{p^3}}\left(t-\tau\right) $$

$\tau$为初始值。

这个就是巴克方程。

双曲线轨道时间-位置关系

双曲线的时间-位置关系比较复杂，我们仿照椭圆轨道引入的近点角那样，对双曲线轨道引入双曲近点角(补图)。

这个双曲近点角是建立在等边双曲线之上的(渐近线是45度)。相当于椭圆轨道的那个参考圆。按照相同的画法，把在椭圆轨道引入的偏近点角推广到双曲线上，对应的角度就是双曲近点角。 然后，这里对之前椭圆轨道的偏近点角做一个扩充，也就是$E = 2\frac{S}{a^2}$(之后补充S的定义)，之所以用这个定义，是为了也用这个公式表示双曲近点角，同时这个$S$就是是在双曲线下对应的不规则区域面积。因此，双曲近点角的角度并不是通常意义上的一个角度。并且有结论，在双曲线下，这个$S$为：

$$ S_{OQP} = \frac{1}{2}a^2\ln{\left(\frac{RO}{a_1}+\frac{RQ}{a_1}\right)} $$$$ RO = -a\cosh{H} $$$$ SR = -b\cosh{H} $$

(补图) 以上结论记住就可以了，这涉及到比较复杂的解析几何的知识。因此，双曲近点角是用双曲函数表示的。

最后得到

$$ r^2 = a^2e^2 + b^2+a^2\cosh^2{H}+b^2\sinh^2{H} $$

然后利用双曲线和双曲函数的性质

$$ a^2+b^2 = a^2e^2 $$$$ \cosh^2{H} -\sinh^2{H} = 1 $$

得到:

$$ r = a_1\left(e\cosh{H}-1\right) $$

即位置和双曲近点角之间的关系。

其中，新旧两个角之间的关系为

$$ \tan{\frac{\theta}{2}} =\sqrt{\frac{e+1}{e-1}}\tanh{\frac{H}{2}} $$

这个和椭圆轨道下的偏近点角和真近点角的关系的形式类似。

最后得到$t-H$关系:

$$ e\sinh{H} - H = \sqrt{\frac{\mu}{a_1^3}}\left(t-\tau\right) $$

这就是双曲线轨道的时间-位置关系。可以看到，和椭圆轨道的形式非常相似。

小结

对于抛物线轨道，我们用的不是特别多，因为它实在是太特殊了，没有理由给人造天体设计一个抛物线轨道。 其他两种轨道的时间-位置关系是重点。